[数学]一道关于硬币的概率题

硬币不知道fair还是不fair,第一次扔是head,第二次让你赌,你赌哪个,概率多少? zz from mitbbs
SOL: 采用Bayes. 设硬币得到head的概率为p. 因为硬币不一定是fair, 所以这里p实际是一个随机变量. 在没有其他信息的情况下,我们假设p的先验是一个0到1之间的均匀分布,即U[0,1]. 这种情况下, 得到head的概率为:

P\{head\} = \int_{p=0}^1P{head|p}\mathrm{d}p = \int_{p=0}^1p\mathrm{d}p=\frac{1}{2}

投掷硬币得到head, 在这种情况下,p的条件概率密度函数f(p|head)就不再是U[0,1]. 这是因为p越大越容易得到head,因此得到head的时候以更大可能观察到比较大的p而不是等概率.f(p|head)的密度由下式求得.注意这里f(p)=1(均匀分布),以及P{head|p} = p.

f(p|head) =\frac{P\{head|p\}f(p)}{P\{head\}}=2p

所以给定head情况下,p的点估计:

\hat{p} = \int_{p=0}^1 2p p\mathrm{d}p = 2/3

再来一道类似的:6个小孩,3女2男,还有一个性别未知.随机选择6人中的一个,发现是男孩.那么未知的那个小孩是男孩的概率?
SOL: 假设未知的那个小孩是男孩的概率是p. 假定p=1/2
选出来的小孩是男孩的概率是
P{pick a boy}=P{pick a boy|unknown=boy}P{unknown=boy}+P{pick a boy|unknown=girl}P{unknown=girl}
=3/6*1/2+2/6*1/2=5/12

则
P{unknown=boy|pick=boy} = P{pick=boy|unknown=boy}P{unknown=boy}/P{pick a boy}=3/5