[数学]抽扑克

2n张牌,n张红n张黑.随机从这副牌里连续抽牌(抽出来后就不扔回去了),平均能够看见多少次连续两张红牌?如连续三张红牌,视为看见两次.平均能看见多少次前一张红牌后一张黑牌?

Sol: 先定义随机变量

I_{i}=\begin{cases} 1 & \textrm{ith,(i+1)th are both read}\\
0 & \textrm{otherwise}
\end{cases}

这样能看见的连续红牌次数X = I_1+I_2+...+I_(2n-1). 虽然I_i和I_j之间并不独立(比如你前n张都抽的是红牌,那么后n张只能是黑牌了),但是如果是对X求期望,就可以把各个I_i单独拎出来求期望,再对期望求和:

E[X] = E[I_1]+\cdots+E[I_{2n-1}]=(2n-1)\frac{n}{2n}\frac{n-1}{2n-1}=\frac{n-1}{2}

同理可以得到看见先红后黑的平均次数是 n/2