[数学]阿里巴巴开门

问题:阿里巴巴试图潜入山洞。在山洞入口处有一面鼓。鼓的侧面有四个一模一样的小孔，组成正方形的四个顶点。在每个孔的里面各装有一个开关。开关有“上”“下”两种状态。(注意：眼睛看不见！)如果四个开关的状态全都一致，洞门即可打开。现允许将手指伸入任意两个孔，触摸开关以了解其状态，并可随自己的意改变或不改变其状态。但每当这样做了之后，鼓就要飞快地旋转，以至在停转之后无法确认刚才触动了哪些开关。证明：阿里巴巴至多需将手指伸入五次，就可以进入山洞。

Sol: 友情鸣谢X公子&S太后奉献的答案! 撒花~~
将开关状态设为A,B两个状态，并用连续四个字母表示当前鼓上四个开关按照顺时针方向排列的状态。由于每次操作后鼓都会旋转，可以认为每一步只有两种可能的操作：选一条边上两个开关（下称“边”）或者选一条对角线上的两个开关（下称“对角”）

第一步：对角。若不一致则调为一致。此时若门没开，则只可能有两种状态：AAAB或者ABAB。

第二步：对角。分两种情况：
1）手伸入时状态一致，则一起翻转状态。若之前为ABAB状态则门开。若门没开，则之前为AAAB状态，翻后仍然为AAAB状态（A,B对称）。
2）手伸入时状态不一致，则之前为AAAB状态。保持原样。
第二步结束后可知此时状态为AAAB。

第三步：对角。分两种情况：
1）手伸入时状态一致，则翻转其中一个。可知结束时为AABB状态。
2）手伸入时状态不一致，则翻转其中一个。若门没开，则结束时为ABAB状态。

第四步：
（若上一次结束时知道是ABAB状态，跳过这一步，直接进入第五步）
上一次结束时知道是AABB状态，则选边，无论状态如何同时翻转两个开关。分两种情况：
1）手伸入时状态一致，则一起翻转，门开。
2）手伸入时状态不一致，则翻转后变成ABAB状态。

第五步：对角。同时翻转两个开关。由于之前状态为ABAB，则翻转后门开。