[数学]停车问题

Mathproblem上看来的问题. 一条街长度为4,最初这条街是空的.大家都开着长度为1的车子来来往往,寻寻觅觅.一旦发现街上有足够大的长度空着, 就会把车停下来.糟糕的是大家停车的时候在所有可能的泊车位随机的挑选,丝毫不会去为后面的人考虑.那么这条街,平均能停几辆车.

Sol:假设f(x)是在一条长度为x的空街上平均能停的汽车数目,当x>1的时候

f(x) = 1+\frac{\int_0^{x-1}[f(t)+f(x-1-t)]dt}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}\int_0^{x-1}f(t)dt

不难得知

• 0<x<1: f(t)=0
• 1<x<2: f(t)=1
• 2<x<3:
  

  f(t)=1+2\frac{\int_0^{t-1}f(u)du}{(t-1)} = 1+\frac{2(t-2}{t-1}
  

所以

f(4)=1+\frac{2}{3}[\int_0^{1}f(t)dt + \int_1^{2}f(t)dt + \int_2^{3}f(t)dt] = \frac{11}{3} - \frac{4}{3}ln 2